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In mwbqmeccanica dei materiali, la mwbgrigidezza è la capacità che ha un corpo di opporsi alla mwbwdeformazione provocata da una forza applicata. Il suo inverso è detto mwcacedevolezza o mwcqflessibilità. Un corpo è tanto più rigido quanto maggiore è il mwcgmodulo elastico.

• Caratteristiche

• Definizione

• Rigidezza longitudinale

• Rigidezza rotazionale

• Relazione tra costanti e moduli di elasticità

• Applicazioni

• Ingegneria

• Fisiologia

• Note

• Bibliografia

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La rigidezza è determinata da:

• mweamweqMateriale, proprietà estensiva del materiale e cioè dipende dalla quantità di materiale e dal materiale stesso.

• mwewmwfaForma, la forma della struttura riesce a conferire una diversa rigidezza a parità di materiale, come nel caso di un tubo ovale o rotondo.

• mwfgmwfwVincoli, a parità di forma e materiale si ha una maggiore rigidezza di un palo vincolato ai due estremi, piuttosto che a un estremo solo.cite-ref-1[1]

Il concetto di rigidezza deriva dalla mwhgteoria dell'elasticità, la cui equazione più comunemente utilizzata è la mwhwlegge di Hooke. Nel metodo agli mwiaelementi finiti e nell'analisi dei sistemi elastici a più gradi di libertà la legge di Hooke viene formulata in termini tensoriali, permettendo l'estensione della legge costitutiva a tutti i possibili mwiqgradi di libertà. Nel caso della formulazione più generale possibile, si ha che la rigidezza è quantificata dal mwigtensore di elasticità mwiw D i j k l {\displaystyle \mathbf {D} _{ijkl}} e la cedevolezza dal mwjatensore di cedevolezza mwjq A i j k l {\displaystyle \mathbf {A} _{ijkl}} :

mwka σ σ i j = D i j k l ε ε k l ε ε i j = A i j k l σ σ k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\qquad \varepsilon _{ij}=\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{kl}}

inoltre, si ha che lmwkgmwkw'energia di deformazione mwla ω ω {\displaystyle \omega } e l'mwlqenergia complementare mwlg γ γ {\displaystyle \gamma } sono pari a:

mwmq ω ω = 1 2 D i j k l ε ε i j ε ε k l γ γ = 1 2 A i j k l σ σ i j σ σ k l {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{ij}\,\varepsilon _{kl}\qquad \gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{ij}\,\sigma _{kl}}

dove mwmw σ σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} è la mwnatensione mwnq ε ε i j {\displaystyle \varepsilon _{ij}} e la mwngdeformazione. I tensori di elasticità e cedevolezza sono tensori del quarto ordine, pertanto hanno 81 coefficienti, di cui 36 sono indipendenti. Se il materiale in esame è mwnwiperelastico, i coefficienti indipendenti si riducono a 21 e, nel caso in cui sia anche mwoaomogeneo e mwoqisotropo essi saranno soltanto due.

Facendo uso della mwownotazione di Voigt, i tensori di elasticità e cedevolezza vengono rappresentati da mwpamatrici simmetriche mwpqsemidefinite positive:

mwqa σ σ i = d i j ε ε j ε ε i = a i j σ σ j ⟹ ⟹ ω ω = 1 2 d i j ε ε i ε ε j γ γ = 1 2 a i j σ σ i σ σ j {\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{i}=\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{j}\\&\varepsilon _{i}=\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{j}\\\end{aligned}}\implies {\begin{aligned}&\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\\&\gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{i}\sigma _{j}\\\end{aligned}}}

Nel caso monodimensionale, la formulazione tradizionale della relazione che esprime una sollecitazione longitudinale lungo un asse mwqw x ^ ^ {\displaystyle {\hat {x}}} è:

mwrg F = − − k E Δ Δ l ⋅ ⋅ x ^ ^ {\displaystyle \mathbf {F} =-k_{E}\Delta l\cdot {\hat {\mathbf {x} }}}

pertanto, in questo caso, la rigidezza di un corpo che subisce un allungamento mwsa Δ Δ l {\displaystyle \Delta l} causato da una mwsqforza applicata mwsg F {\displaystyle \mathbf {F} } è rappresentata dalla mwswcostante elastica longitudinale mwta k E {\displaystyle k_{E}} , di conseguenza la cedevolezza verrà espressa dalla mwtqcostante plastica longitudinale mwtg k C = k E − − 1 {\displaystyle k_{C}=k_{E}^{-1}} . Nel mwtwSistema Internazionale, la costante elastica longitudinale si misura in N·mmwua-1 mwuq(mwugnewton su mwuwmetro), mentre la costante plastica longitudinale si misura in m·Nmwva-1 (mwvqmetro su newton).

Per esprimere la sollecitazione longitudinale, la formulazione odierna del caso monodimensionale si serve del mwvwcoefficiente di dilatazione lineare mwwa ε ε {\displaystyle \varepsilon } :

mwww σ σ = E ε ε {\displaystyle \sigma =E\varepsilon }

dove la rigidezza è rappresentata dal mwxqmodulo di elasticità longitudinale di mwxgYoung mwxw E {\displaystyle E} , mentre la cedevolezza sarà espressa dal modulo di plasticità longitudinale mwya C = E − − 1 {\displaystyle C=E^{-1}} .

In modo del tutto analogo, nel caso monodimensionale, la formulazione tradizionale della relazione che esprime una sollecitazione tangenziale, a un piano a cui un asse mwyw z ^ ^ {\displaystyle {\hat {z}}} è ortogonale, è:

mwzg M = − − k θ θ Δ Δ α α ⋅ ⋅ z ^ ^ {\displaystyle \mathbf {M} =-k_{\theta }\Delta \alpha \cdot {\hat {\mathbf {z} }}}

pertanto, in questo caso, la rigidezza di un corpo che subisce una variazione angolare mwaa Δ Δ α α {\displaystyle \Delta \alpha } causata da un mwaqmomento applicato mwag M {\displaystyle \mathbf {M} } è rappresentata dalla mwawcostante elastica tangenziale mwba k θ θ {\displaystyle k_{\theta }} , di conseguenza la cedevolezza verrà espressa dalla mwbqcostante plastica tangenziale mwbg k γ γ = k θ θ − − 1 {\displaystyle k_{\gamma }=k_{\theta }^{-1}} . Nel Sistema Internazionale, la costante elastica tangenziale si misura in N·m mwbw(newton per metro), mentre la costante plastica tangenziale si misura in (mwcaN·m)mwcq-1 (mwcguno su newton per metro).

Per esprimere la sollecitazione tangenziale, la formulazione odierna del caso monodimensionale si serve del coefficiente di scorrimento angolare mwda γ γ {\displaystyle \gamma } :

mwdw τ τ = G γ γ {\displaystyle \tau =G\gamma }

dove la rigidezza è rappresentata dal mweqmodulo di elasticità tangenziale mweg G {\displaystyle G} , mentre la cedevolezza sarà espressa dal modulo di plasticità tangenziale mwew G − − 1 {\displaystyle G^{-1}} .

La costanti e i moduli di elasticità, usate entrambe per esprimere la rigidezza, sono strettamente legate tra loro. Dalle relazioni precedenti si può dedurre che mwfg k E = E S l i {\displaystyle k_{E}=E{\frac {S}{l_{i}}}} e che mwfw k θ θ = G S b {\displaystyle k_{\theta }=GSb} , dove mwga S {\displaystyle S} è la sezione, mwgq l i {\displaystyle l_{i}} è la dimensione longitudinale e mwgg b {\displaystyle b} è il mwgwbraccio della forza che causa il momento. Tuttavia esiste una profonda differenza tra le due categorie di grandezze; infatti, i moduli di elasticità sono proprietà costitutive del materiale, invece le costanti elastiche sono proprietà relative al corpo elastico. Ovvero, i moduli di elasticità dipendono soltanto dal materiale, mentre le costanti elastiche dipendono dal corpo e dalle condizioni di vincolo.

In generale si dovrebbe usare il termine mwhwrigidità quando si parla di un materiale, di mwiarigidezza quando si parla di una struttura. La rigidezza di una struttura è di fondamentale importanza in molte mwiqapplicazioni ingegneristiche, infatti essa rappresenta un parametro di scelta fondamentale del materiale. Un'alta rigidità si ricerca quando si vogliono basse deformazioni, una bassa rigidità quando è richiesta flessibilità. Lo spostamento può, in generale, riferirsi ad un punto distinto da quello di applicazione della forza, ed una struttura complicata non si deformerà solamente nella stessa direzione della direzione di applicazione della forza. Attraverso il mwigtensore di rigidezza si può caratterizzare la rigidezza della struttura in tutte le direzioni. Per un semplice sistema di punti collegati da molle, la matrice di rigidezza descrive la mwiwconnettività tra i gradi di libertà del sistema stesso. Un semplice esempio è la mwjamatrice di rigidezza di una trave. Le stesse grandezze usate per esprimere la rigidezza rotazionale, vengono usate per esprimere anche la rigidezza al taglio, il rapporto fra deformazione di taglio per unità di forza applicata, e la rigidezza torsionale, ovvero il rapporto fra il momento di torsione applicato e l'angolo di rotazione.

In mwjwfisiologia, con il termine rigidezza (in mwkainglese mwkqstiffness) si indica la mwkgresistenza meccanica, la densità e la rigidità strutturale dei mwkwtendini e delle strutture di mwlatessuto connettivo del mwlqmuscolo. Sostanzialmente, maggiore è la rigidezza di questi tessuti, maggiore è l'energia che può essere immagazzinata durante un movimento eccentrico, per essere poi restituita e liberata durante la fase concentrica. Patologicamente, indica la difficoltà a piegare un'articolazione o la difficoltà di flessione muscolare dovuta a mwlgipertonia.

cite-note-11. ↑ mwnqmwngmwnwanalisi agli elementi finiti (mwoamwoqPDF), su mwogsolidworld.it mwow(archiviato dall'mwpaurl originale il 5 marzo 2013).

• citerefmazzoldi-nigro-vociP. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.

• citereflenciStefano Lenci, Lezioni di Meccanica Strutturale, Bologna, Pitagora Editrice, 2009.

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su rigidezza

• mwrqUniversità degli Studi di Firenze Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2004/05 La rigidezza (PDF), su pcm.unifi.it. URL consultato il 22 febbraio 2011 (archiviato dall'url originale il 30 dicembre 2005).